نماذج الترقيم العشري والثنائي و السداسي عشري
عندما تكمل هذا الفصل تكون قادراً على :
1.معرفة معنى الرموز و مواقعها في النظام العشري.
2.معرفة معنى الرموز و مواقعها في النظام الثنائي.
3.معرفة معنى الرموز و مواقعها في النظام السداسي عشري.
4.تحويل الأرقام من أي نظام إلى أي نظام آخر.
مقدمة:
يوجد العديد من النظم العددية, لكل واحد منها استخدام خاص. فالإنسان على سبيل المثال متعود على النظام العشري .أما الأجهزة الرقمية في أغلبها تستخدم النظام الثنائي لمعالجة بياناتها. بعض المبرمجين والمختصين بالجانب المادي لأجهزة(Resources )أو حتى تشخيص و كشف بعض الأعطال المتعلقة بأجهزة الحاسب الآلي.
أولا: النظام العشري
يستخدم النظام العشري عشرة رموز أو أرقام و هي 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ونشير لهذا النظام أيضاً والنظام ذي أساس10.فأي رقم يكتب في هذا النظام يحتوي رموزه على عدد من هذه الرموز العشر فقط.
ويعني هذا أيضاً أن الرموز التي تمثل هذا العدد متعلقة بالأساس 10.ويكون هذا حسب موقع الرموز في السلسلة التي تمثل هذا الرقم. فمثلاً في العدد 7529,يكون الرموز 9.متعلقاً بالآحاد,2متعلقاً بالعشرات,5تعلقاً بالمئات و7متعلقاً بالآلاف .بصفة أخرى تعني هذه الكتابة أن:
7529=7.10+5.10+2.10+9.10
مما يؤدي إلى:7*1000+5*100+2*10+9*1=7000+500+20+9= 7529
بإمكاننا الحصول على الرموز التي يتألف منها أي عدد في النظام العشري بالطريقة الآتية:
1. في حالة ما كان العدد يتكون من عدد n من الرموز, نقوم بتقسيمه على 10 عدد n من المرات.
2. في نهاية كل عملية قسمة نحتفظ بالباقي و في الأخير نكون العدد بواسطة العدد بواسطة العدد n من بواقية و هذا ابتداء من آخر باقي إلى أول باقي حصلنا عليه .يتبين لنا هذا من خلال المثال السابقة:
3 .يوجد في العدد 7529 أربعة رموز ,فيلدا سوف نقسم العدد على 10 أربع مرات.
4 .تقسيم 7529 على 10 يؤدي إلى ناتج كامل يساوي 752 ويكون أول باقي يساوي 9.
5 .تقسيم 752 على 10 يؤدي إلى ناتج كامل يساوي 75 و يكون ثاني باقي يساوي 5.
6 .تقسيم 75على10 يؤدي إلى ناتج كامل يساوي 7 يكون ثالث باقي يساوي 5.
7 .تقسيم 7 على 10 يؤدي إلى ناتج كامل يساوي 0 و يكون أخر باقي يساوي 7.
ثانيا : النظام الثنائي
يحتوي النظام الثنائي على رمزين 1 و 0 ويدعى أيضاً النظام ذا أساس 02 ، ويعني هذا أن كتابة أي رقم ثنائي تتمثل في استخدام سلسلة من الرموز تتكون من أصفار وآحاد فقط .
في حالة النظام العشري رأينا أن أي عدد يتكون من رموز فإن موقع الرمز متعلق بقوة من قوى عشر ، نفس الشيء ينطبق على النظام الثنائي مما يعني أن أي عدد ثنائي يتكون من أصفار وآحاد فستكون القيمة جمع الأصفار والآحاد في السلسلة التي تمثل هذا العدد الثنائي مضروبة بقوى 2 وهذا تناسبا مع موقع الرمز في السلسلة . فمثلاً بالنسبة للعدد التالي : 110101
فالرمز الموجود في أقصى اليمين يكون مضروباً في 20 ، ثم الذي يليه يكون مضروباً في 21 إلى آخر رمز أقصى اليسار يكون مضروباً في 25 .
هذا يعني أيضاً :
20 × 1 + 21 × 0 + 22 × 1 + 23 × 0 + 24 × 1 + 25 × 1 = 110101
التحويل من الثنائي إلى العشري
كما شرحنا سابقا ، عند ما يكون لدينا أي عدد ثنائي نضرب رموزه بقوى 2 التي تتناسب مع مواقع هذه الرموز ثم نجمع الكل. في المثال السابق يؤدي إلى :
20 × 1 + 21 × 0 + 22 × 1 + 23 × 0 + 24 × 1 + 25 × 1 = 110101
20 + 22 + 24 + 25 =
53=1+4+16+32 =
فالعدد الثنائي 110101 يعادل العدد العشري 53 ، والمتمثل أيضا في كتابه
10 (53) = 2(110101)
التحويل من العشري إلى الثنائي
في حالة التحويل من الثنائي إلى العشري كنا نكرر عملية الضرب بالأساس 2 . أما في حالة التحويل من العشري إلى الثنائي فسوف نكرر عملية القسمة على 2 .إذا كان لدينا رقم عشري المطلوب تحويله إلى مكافئة الثنائي فسوف :
1. نقسم هذا الرقم على 2 مما يؤدي إلى ناتج وباق . يستطيع الناتج أن يكون أي رقم، أما الباقي فستكون قيمته إما صفراً أو واحداً. تكون صفراً إذا كان العدد المطلوب تحويله عدداً زوجياً وواحداً إذا كان العدد فردياً .
2. نكرر عملية القسمة على 2 إلى أن نحصل على ناتج يساوي صفراً وباق يساوي واحداً، فحينئذ نستنتج العدد الثنائي المكافئ للعدد العشري والذي يتكون من رموز تتمثل في قيم البواقي، آخر باقي في أقصى اليسار إلى أول باقي في أقصى يمين السلسلة .
نتبع في الحقيقة نفس الطريقة التي اتبعناها في النظام العشري، سواء كنا في حالة التحويل من العشري إلى الثنائي أو العكس. هذا ما نجده من خلال تحويل العدد 53 إلى مكافئة الثنائي .
1. تقسيم 53 على 2 يؤدي إلى ناتج يساوي 26 و أول باق يساوي 1 .
2. تقسيم 26 على 2 يؤدي إلى ناتج يساوي 13 و ثان باق يساوي 0 .
3. تقسيم 13 على 2 يؤدي إلى ناتج يساوي 6 و ثالث باق يساوي 1 .
4. تقسيم 6 على 2 يؤدي إلى ناتج يساوي 3 و رابع باق يساوي 0 .
5. تقسيم 3 على 2 يؤدي إلى ناتج يساوي 1 و خامس باق يساوي 1 .
6. تقسيم 1 على 2 يؤدي إلى ناتج يساوي 0 و سادس باق يساوي 1 .
7. أخيرا نكتب أن العدد العشري 53 بواسطة بواقيه، مبتدئين من آخر باق إلى أول باق، وهذا ما يؤدي إلى العدد الثنائي 110101 .
ثالثا : النظام السداسي عشري
يحتوي هذا النظام على ست عشرة رمز وهم : F,E,D,C,B,A,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 0 ويتمثل أي عدد في هذا النظام بواسطة عدد من هذه الرموز فقط .
كل ما رأيناه في الحالات العشرية والثنائية ينطبق على الحالة الست عشرية. وبالنسبة لتمثيل الأرقام نستخدم 16 بدلاً من 10 أو 2 0 لأن الأساس في النظام السداسي عشر هو 16 .
فمثلاً العدد 7B9C يعادل
7B9C = 7x163+Bx162+9x161+Cx160 = 7x163 + 11x162 + 9x161 + 12x160
= 31644
يؤدي هذا التحليل إلى عملية التحويل من النظام الست عشري إلى النظام العشري .
تتمثل النتيجة الأخيرة في الكتابة التالية :
(7B9C)16 = (31644) 10
التحويل من العشري إلى الست عشري
في التحويل من الست عشري إلى العشري كنا كل مرة نضرب أي رمز يمثل العدد بإحدى قوى 16 في العملية العكسية يعني التحويل من العشري إلى الست عشري :
نقسم العدد على 16 ونحصل على ناتج يختلف عن الصفر وباق يتكون من أحد الرموز الست عشرة. نكرر هذه العملية إلى أن نحصل على ناتج يساوي الصفر وباق يحتوي على رمز من الرموز الست عشرة. فحينئذ نمثل العدد بمجموعة من البواق ابتداء بآخر باق في أقصى اليسار إلى أول باق في أقصى اليمين .
لنرى كيف يتم تحويل العدد العشري 31655 إلى مكافأة الست عشري :
1. تقسيم 31644 على 16 يؤدي إلى ناتج يساوي 1977 وباق قيمته 12 .
2. تقسيم 1977 على 16 يؤدي إلى ناتج يساوي 123 وباق قيمته 9 .
3. تقسيم 123 على 16 يؤدي إلى ناتج يساوي 7 وباق قيمته 11 .
4. تقسيم 7 على 16 يؤدي إلى ناتج يساوي 0 وباق قيمته 7 .
التحويل من الست عشري إلى الثنائي
يتطلب التحويل من الست عشري إلى الثنائي عمليتين، أولاها التحويل من الست عشري إلى العشري وآخرها التحويل من العشري إلى الثنائي. غالبا ما تكون هذه الطريقة شاقة ومعرضة للأخطاء، لذلك نستغل الملاحظة التي تتمثل في 161 = 24 و التي تعني أن أي رمز ست عشري يستطيع أن يتمثل بواسطة 4 رموز ثنائية. ما يؤدي إلى تعويض أي رمز ست عشرة بمكافأة الثنائي مباشرةً .
يوضح الجدول (1-1) الرموز الست عشرية ومكافئتها
الجدول (1-1) : المكافئ الثنائي والعشري للرموز السداسي عشرية
التحويل من الثنائي إلى النظام الست عشري
في هذه الحالة نقسم سلسلة الآحاد والأصفار التي تمثل العدد الثنائي إلى مجموعات تتكون كل واحدة منها من أربع رموز ثنائية أو بتات. وهذا ابتداء من اليمين حتى نصل إلى أقصى اليسار والتي من المحتمل أن تحتوي على أقل من أربع بتات، ففي هذه الحالة نكمل البتات المتبقية بأصفار إلى أن ترجع هذه المجموعة مكونة من أربع بنات. وأخيراً نمثل كل من هذه المجموعات برمز ست عشري. ونكون هكذا قد حولنا الرقم الثنائي إلى مكافأة الست عشري دون اللجوء إلى التحويل من الثنائي إلى العشري ثم التحويل من العشري إلى الست عشري .
نتعامل مع النظام الست عشري بدلاً من الثنائي لتجنب السلاسل الطويلة من الأصفار والآحاد التي تمثل الأرقام الكبيرة كما يحصل في عنوان الذاكرة ومحتوياتها .
